Леонид Прокофьев родился в Ртищеве в семье машиниста-орденоносца. В августе 1941 года в возрасте 18 лет был призван в армию. Учился в Саратовском танковом училище, которое позднее стало носить имя Героя Советского Союза генерал-майора А. И. Лизюкова. Уже в 1942 году отправился на фронт. Воевал под Сталинградом, затем на Донском и Юго-Западном фронтах, на Украине, в Румынии. Войну закончил в Болгарии в звании гвардии старшего лейтенанта.
В 1946 году Прокофьев вернулся в Ртищево. Он работал токарем в депо, окончил юридическую школу в Саратове и заочно — исторический факультет Саратовского университета. В 1953 году Прокофьева назначили директором городского кинотеатра. Позже он стал руководителем массового отдела Дворца культуры железнодорожников, а в 1957 году — директором Дворца. В 1969–1972 годах Леонид Васильевич руководил отделом культуры городского Совета. Многократно избирался в депутаты горсовета.
Леонид Васильевич запомнился жителям Ртищева как энтузиаст и умелый организатор культурной работы. Он посвятил себя развитию разных видов искусства. Прокофьев помог создать городской драматический театр и эстрадный оркестр. Он собирал и популяризировал историю родного края, основал народный музей. Активно участвовал в ветеранском движении, выступал ведущим и солистом (бас) на городских концертах. Он также был фотографом и оставил уникальную коллекцию снимков.
Л. В. Прокофьев умер и похоронен в Ртищеве. В 2020 году на здании Городского культурного центра открыли мемориальную доску в его честь.